Taylor-Reihen - Video-Lehrgang NTG Industriemeister (BQ)

Taylor-Reihen

Videolehrgang Analysis I und Analysis II

Der Matheschein für Chemiker, Biochemiker und andere Naturwissenschaftler

Thema: Taylor-Reihen - Laufzeit: 110 Minuten

Taylorreihen stellen eine Methode dar, komplexe Funktionen in ein Näherungspolynom zu verwandeln. Warum tut man das? Es ist so, dass manche Funktionsterme gegen jede algebraische Umformung resistent sind. Meistens sind dann auch die Integrale entweder sehr schwierig zu bilden oder noch häufiger gar nicht. Dann müsste man spätestens beim Integrieren ohnehin auf numerische Verfahren ausweichen. Meistens stellen schon Polynome 3. Grades eine sehr gute Näherung dar. Polynome lassen sich problemlos integrieren und anderweitig weiter verarbeiten.

Kleiner Nachteil: Das funktioniert nur in einer bestimmten Umgebung von x, die man jedoch vorher festlegen kann. In der Anwendungsmathematik interessiert man sich ohnehin meistens für einen bestimmten Bereich einer Funktion. Besonders bei technischen oder wirtschaftlich relevanten Funktionen kommt das zum Tragen.

e-Funktionen erweisen sich auch hier als sehr pflegeleicht.

In der Praxis wird man kaum eine schlichte e-Funktion durch ein Polynom ersetzen wollen.

Dieser Term ist sehr schwerfällig. Integration ziemlich aufwendig... Da macht ein Polynom als lokaler Ersatz echt Sinn.

En Klausur-Oldie

Logarithmusfunktionen sind an sich nur für kleine Abschnitte interessant, da ist ein Polynom eine brauchbare Vereinfachung.

Dieses Beispiel ist mathematisch trivial, allerdings können sie dabei feststellen, dass die Taylorreihe tatsächlich auf die Ursprungsfunktion zurückkommt. Aus einem Polynom wird ein Polynom! In diesem Sonderfall wird die regulär unendliche Reihe eine endliche Reihe. Macht zwar keinen echten Sinn, wird aber in Klausuren durchaus mal verlangt.